Teorias de integração
Teorias de integração
Este trabalho trata do desenvolvimento das Teorias de Integração, com detalhes matemáticos e históricos dos principais avanços no decorrer dos séculos. Objetiva-se exibir as principais deficiências das teorias anteriores, as quais motivam os surgimentos das próximas. Além disso, busca-se formas eficientes de tratar integrais abstratas, nas quais os estudantes frequentemente têm dificuldade ao iniciar, de modo a suavizar a transição entre as integrais do cálculo e teorias de integração mais gerais. Inicia-se com as primei- ras formulações do conceito de integração realizadas por Newton e Leibniz. Em seguida, exibem-se as integrais de Cauchy, Riemann e Darboux, apresentando diversas deficiências atreladas a essas teorias. A integral de Lebesgue surge de modo a superar a maioria destas, mas ainda contém um Teorema Fundamental do Cálculo ineficiente. Este problema se estende desde as integrais anteriores, e até então nenhuma delas tinha o poder da integral de Newton no sentido de recuperar uma função a partir de sua derivada. A integral de Henstock-Kurzweil surge de modo a resolver esta última deficiência. Cita-se outras teorias de integrações, ainda mais gerais, e discute-se a respeito da utilização da integral de Henstock-Kurzweil e de McShane nos vários níveis de ensino acadêmico.
In this work we deal with an approach to the Integration Theories, with mathematical and historical details of the major advances over the centuries. We aim to show the main drawbacks of previous theories, from which the next ones appear to supplant. Besides, we aim seeking efficient ways to treat abstract integrals, in which the students frequently have difficulties starting, in order to smooth the transition between the calculus integrals and more general theories of integration. We begin with the first formulations of the integration concept from Newton and Leibniz. Then, we exhibit the integrals of Cauchy, Riemann and Darboux, presenting various deficiencies within these theories. The Lebes- gue integral emerges to overcome the most of them, but it still presents an inefficient Fundamental Theorem of Calculus. This problem remains from the previous integrals and, until then, none of them had the power of Newton integral in the sense of recover a function from its derivative. The Henstock-Kurzweil integral comes to solve this last drawback. Finally, we mention other theories, even more general, and discuss about the utilization of the Henstock-Kurzweil and McShane integrals in several academic education levels.
Dr. Silva Júnior, Rinaldo Vieira da.
Integral de Lebesque.
Integral de Henstock-Kurzweil.
Teorema de Riesz-Fisher.
Teorema da convergência dominada.