Equicontinuidade e o teorema de Arzelá-Ascoli

O presente trabalho tem por objetivo apresentar as condições necessárias para a exis- tência de subsequência convergente em sequências de funções reais. Estas condições são fornecidas pelo teorema de Arzelá-Ascoli, resultado que se destaca na matemática pela sua aplicabilidade. Para obter a demonstração do referido teorema, fizemos o estudo de diversos conceitos matemáticos, tais como: sequências numéricas, conjuntos compactos, funções contínuas, sequências de funções reais, convergência simples e uniforme e equicontinuidade. Estes conceitos, juntamente com a demonstração do teorema de Arzelá-Ascoli, estão divididos em três capítulos e, embora alguns deles possam ser generalizados para espaços métricos, todos foram desenvolvidos no conjunto dos números reais.

This study aims to present the necessary conditions for the existence of convergent sub- sequence in real functions sequences. These conditions are provided by Arzela-Ascoli theorem, a result that stands out in mathematics for its applicability. For the proof of that theorem, we study various mathematical concepts, such as numerical sequences, compact sets, continuous functions, functions of real sequences, simple and uniform convergence and Equicontinuity. These concepts, along with the demonstration of Arzela-Ascoli theorem, are divided into three chapters and, although some of them can be generalized to metric spaces, all were developed in the set of real numbers.