A Lei da Reciprocidade Quadrática de Carl Friedrich Gauss
A Lei da Reciprocidade Quadrática de Carl Friedrich Gauss
Neste trabalho estudamos, no capítulo 1, a importantíssima Aritmética Modular sobre a qual a contribuição do matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) foi fundamental; apresentamos, também, os teoremas de Euler, Fermat e Wilson, além do Teorema do Resto Chinês. No capítulo 2, introduzimos algumas Funções Aritméticas relevantes e algumas relações entre elas. Em seguida, no capítulo 3, realizamos um estudo sobre Resíduos Quadráticos e introduzimos o Símbolo de Legendre o qual é útil para sabermos sobre a existência ou não de soluções à congruência quadrática x2 ≡ a(mod p). Finalmente, com a ajuda do Lema de Gauss (Lema 3.15) e um pouco de geometria, demonstramos a Lei de Reciprocidade Quadrática de Gauss, que é o tema deste Texto de Conclusão de Curso (TCC). Portanto, como o caro leitor deve ter percebido, para uma leitura mais proveitosa deste TCC, recomendamos aos possíveis leitores deste trabalho que primeiro conheçam ou estudem todas as propriedades elementares sobre divisibilidade no conjunto dos números inteiros, com uma atenção especial para o Princípio de Indução Finita e para o Algorítmo da Divisão, pois neste TCC não tratamos destes importantes conteúdos, embora, fortemente, tenhamo-los utilazado em quase toda esta obra, haja vista o conceito de congruência está intimamente relacionado com o conceito de divisibilidade. Além disso, no início de toda demonstração dos teoremas apresentados neste TCC, quando foi utilizada a expressão "Lembremos que", na verdade, estamos sinalizando ao leitor o uso de uma propriedade sobre divisibilidade que já deve ser de seu conhecimento.
In this work we study, in chapter 1, the most important Modular Arithmetic on which the
contribution of the German mathematician Carl Friedrich Gauss (1777-1855) was
fundamental; we also present Euler’s, Fermat’s and Wilson’s theorems, besides the Rest
Chinese Theorem. In chapter 2, we introduced some important Arithmetic Functions and some
relationships between then. Then, in chapter 3, we conducted a study of Quadratic Residues and
introduced the Legendre Symbol which is useful to know about the existence or not of solutions
to quadratic congruence x
2 ≡ a(mod p). Finally, with the help of Gauss’ Lema (Lema 3.15) and
a little geometry, we demonstrate Gauss’ Quadratic Reciprocity Law, which is the subject of
this Text Course Completion (TCC). Therefore, as the dear reader may have noticed, for a more
fruitful reading of this TCC, we recommend to the possible readers of this paper that they first
know or study all the elementary properties of divisibility in the set of integers, with a special
attention to the Priciple of Finite Induction and the Division Algorithm, because in this TCC,
we didn’t mention of these important contents, though, strongly, we’ve used them in almost all
this work, given the concept of congruence is closely related to the concept of divisibility. Moreover, at the beginning of every demonstration of the theorems presented in this TCC, whem we
used the term "we remember that", in fact, we are signaling the reader to use a property about
divisibility that should already be of his/her knowledge.
Dr. Bonutti, Moreno Pereira.
Símbolo de Legendre.
Lei de Reciprocidade Quadrática.
Congruência.