Uma investigação das raízes N-ésimas complexas primitivas da unidade e sua relação com a Função φ de Euler

Alguns alunos que estudam matemática não levam muito a sério a parte formal da matemática. Possuindo dificuldades para entender e buscar mecanismos que relacionem a teoria com a prática. Neste trabalho faremos uma investigação teórica do estudo da raízes primitivas da unidade, sua relação com a função Φ de Euler e uma aplicação desta na criptografia no sentido de mostrar que a matemática deve ser estuda de forma eficiente. Esta investigação fará com que descubramos a importância de relacionar diferentes áreas da matemática e descobrir sua aplicação na realidade. Utilizando-se dos conhecimentos adquiridos na graduação e fazendo algumas pesquisas entende-mos que a função Φ( n ) de Euler é definida como sendo a quantidade de elementos inteiros positivos menores do que ou igual ao inteiro positivo n e primo com n e que este número Φ é justamente a quantidade de raízes primitivas da unidade. Um dos resultados do nosso trabalho foi a demonstração de que a função Φ( n ) é dada porΦ( n ) = n?1 −1p 1??1 −1p 2?...?1 −1p r?. Este resultado é de grande importância numa aplicação da função Φ no modelo RSA da criptografia. Neste trabalho pudemos notar aimportância de relacionar as diferentes áreas da matemática e descobrir sua utilidade no cotidiano. Neste sentido, entendemos que o matemático sem uma base de conhecimento formal e uma visão deste em sua realidade limitar-se-a aprender conteúdos deforma mecanizada.

Some students who study mathematics do not take the formal part of mathematics very seriously. Possessing difficulties to understand and seek mechanisms that relate theory to practice. In this work we will carry out a theoretical investigation of the study of the unit’s primitive roots, its relation with Euler’s Φ function and its application in cryptography in order to show that mathematics must be studied efficiently. This research will make us discover the importance of relating different areas of mathematics and discovering its application in reality. Using the knowledge acquired in the under graduateand doing some research we understand that the function Φ( n ) of Euler is defined as the quantity of positive integers smaller than or equal to the positive integer nand prime with n , and that this number Φ is just the number of roots of the unit.One of the results of our work was the demonstration that the function Φ( n ) is givenby Φ( n ) = n?1 −1p 1??1 −1p 2?...?1 −1pr?. This result is of great importance in anapplication of the Φ function in the RSA encryption model. In this work we could note the importance of relating the different areas of mathematics and discover their usefulness in everyday life. In this sense, we understand that the mathematician without a formal knowledge base and a view of this in his reality will limit himself to learning contents in a mechanized way.