O problema de Dirichlet para a equação de Laplace: uma aplicação no retângulo

Este trabalho procura responder a pergunta que tem como resposta "Se o problema de Dirichlet tem solução, qual é ela? Ela é única? ". Para responder a esta pergunta são procuradas respostas no princípio do máximo, nas séries de Fourier, na transformada de Fourier. Estes conhecimentos são utilizados para provar que a solução do problema de Dirichlet é única, caso exista e quais são as soluções no disco e no semiplano. Este problema é um problema de contorno ques e insere no contexto das EDP’s e EDO’s. Para alcançar o objetivo de determinar soluções para o problema de Dirichlet foi feita uma pesquisa bibliográfica com cruzamento dos conhecimentos encontrados através do" raciocínio lógico-matemático". Essas fontes foram encontradas na Internet, compondo-se de livros, artigos científicos e de páginas da WEB. Os resultados deste trabalho são que se o problema de Dirichlet para a equação de Laplace tem solução, então ela é única e que o problema de Dirichlet é útil para encontrar funções harmônicas para diversas finalidades.

We present one of the most famous contour problems for the Laplace equation, namely, the Dirichlet problem. A priori, we made the study viable by defining some essential topological notions, which guide the environment in which we work, in addition to an introductory characterization of the Fourier series, preceded by a brief review of some properties of the trigonometric functions, in particular, the sine and cosine functions . Regarding the Fourier series, the study was funneled in the analysis of its coefficients, known as the Euler-Fourier coefficients, accompanied by some results of these series in sines and cosines, ending with their convergence, naming the M Weiestrass Test and the Fourier convergence theorem. Below, we define the Dirichlet problem for the Laplace equation, guaranteeing the uniqueness of the solution, if it exists, using the Maximum Principle in its weak form, following Privalov’s demonstration. The work complies with the resolution of the Dirichlet problem for the Laplace equation in the rectangle.