Números transcendentes e as equações da forma xⁿ = nᵡ

Dos diversos problemas ainda não resolvidos da Matemática, alguns tratam-se de conceitos e elementos advindos da Teoria dos Números Transcendentes, podendo citar como exemplo a dificuldade em demonstrar que a natureza de um número é transcendental. A partir dos avanços nessa teoria, um dos resultados que é de extrema importância para "construir" um número transcendente na forma de potência é o Teorema de Gelfond-Schneider. Inserido nesse cenário de potências transcendentes, é pouco conhecida a natureza de potências da forma n T , com n ∈ N e T transcendente. A respeito dos números 2π e 2 e , por exemplo, ainda não se sabe se são transcendentes ou não. Diante disso, neste trabalho realizamos um estudo sobre as soluções da equação x n = n x , com n ∈ N− {0,1} e x ∈ R− {0,1} e sua relação com números transcendentes da forma n T , dentro das condições apresentadas. Com isso, definimos um critério de transcendência para tais potências e também destacamos que tal resultado não é único, existem outros números transcendentes que não atendem a esse critério, bem como existem números da forma n T que são algébricos. Por fim, serão apresentadas duas sequências didáticas como incentivo à abordagem de números transcendentes no Ensino Médio e na formação de professores.  

Of the many unresolved problems in Mathematics, some are concepts and elements arising from the Theory of Transcendent Numbers, for example the difficulty in demonstrating that the nature of a number is transcendental. Based on the advances in this theory, one of the results that is extremely important for "constructing" a transcendent number in the form of a power is the Gelfond-Schneider Theorem. Inserted in this scenario of transcendent powers, the nature of powers of the form n T , with n ∈ N and T transcendent, is little known. Regarding the numbers 2π and 2e , for example, it is not yet known whether they are transcendent or not. Therefore, in this work we carried out a study on the solutions of the equation x n = n x , with n ∈ N−{0,1} and x ∈ R−{0,1} and its relationship with transcendent numbers of the form n T , within the conditions presented. With this, we define a transcendence criterion for such powers and also highlight that such a result is not unique, there are other transcendent numbers that do not meet this criterion, as well as there are numbers of the form n T that are algebraic. Finally, two didactic sequences will be presented as an incentive to approach transcendent numbers in high school and teacher training.