Progressões aritméticas de três quadrados e a circunferência _x ²_ \+ _y ²_ = 2

O estudo das progressões aritméticas de três termos quadrados surgiu da resolução de equações envolvendo quadrados. O problema principal consiste em encontrar um número inteiro que adicionado a um número quadrado e subtraído de um número quadrado produz sempre um número quadrado. Existem diferentes métodos para resolução: a interação das sequências de números ímpares, as triplas pitagóricas primitivas e a equivalência com os pontos racionais da circunferência x ² + y ² = 2. Neste sentido, o objetivo deste trabalho consiste em descrever as expressões para os termos das progressões aritméticas de três termos quadrados perfeitos através da equivalência com os pontos racionais da circunferência x ² + y ² = 2. Desta forma, são apresentados os conceitos de progressões aritméticas, geometria analítica plana, limites, divisibilidade e uma perspectiva histórica e teórica das progressões aritméticas de três quadrados perfeitos. Ficou constatado que encontrar todas as progressões aritméticas de três termos quadrados perfeitos é equivalente a encontrar todos os pontos racionais nesta circunferência. Mas isso depende do coeficiente m racional da reta que cruza a circunferência no ponto racional (r, s) e no ponto (1, 1). Desta relação, os termos destas progressões podem ser escritos em função de p, q ∈ Z não nulos, tais que m = p/q. Se p e q são relativamente primos com q > p e p ² + 2pq − q ² > 0, então existe uma sequência (x ², y ², z ²) cujos termos estão em progressão aritmética e são relativamente primos. O número procurado no problema principal, denominado por fibonacci de número congruente, é na verdade a razão da progressão aritmética encontrada.

The study of arithmetic progressions of three square terms arose from solving equations involving squares. The main problem is to find an integer that added to a square number and subtracted from a square number always produces a square number. There are different methods for solving: the interaction of sequences of odd numbers, the primitive Pythagorean triples and the equivalence with the rational points of the circle x ² + y ² = 2. In this sense, the objective of this work is to describe the expressions for the terms of the arithmetic progressions of three perfect square terms through equivalence with the rational points of the circle x ² + y ² = 2. In this way, the concepts of arithmetic progressions, flat analytical geometry, limits, divisibility and a historical and theoretical perspective on the arithmetic progressions of three perfect squares are presented. It was found that finding all arithmetic progressions of three perfect square terms is equivalent to finding all rational points on this circle. But this depends on the rational coefficient m of the line that crosses the circle at the rational point (r, s) and at the point (1, 1). From this relationship, the terms of these progressions can be written in terms of non-zero p, q ∈ Z, such that m = p/q. If p and q are relatively prime with q > p and p ² + 2pq − q ² > 0, then there exists a sequence (x ², y ², z ²) whose terms are in arithmetic progression and are relatively prime. The numbersought in the main problem, called the congruent number by Fibonacci, is actually the reason for the arithmetic progression found.