A derivada de aplicações ƒ: ℝⁿ→ ℝᵐ e a regra da cadeia
A derivada de aplicações ƒ: ℝⁿ→ ℝᵐ e a regra da cadeia
<adryan.lima@arapiraca.ufal.br>
Este trabalho apresenta um estudo
sobre a generalização do conceito de derivada para aplicações do
tipo ƒ: ℝⁿ→ ℝᵐ. Inicialmente, são abordadas as derivadas
no contexto clássico de funções reais de uma variável, destacando
suas interpretações geométrica e analítica, bem como propriedades
fundamentais, com ênfase na regra da cadeia. Em seguida, o estudo é
ampliado para funções vetoriais e funções de várias variáveis,
introduzindo conceitos como derivadas parciais, derivadas direcionais
e gradiente. Posteriormente, são apresentados elementos básicos da
topologia de ℝᵐ, necessários para a formalização dos conceitos
de continuidade e diferenciabilidade. A partir dessas definições,
desenvolve-se a noção de derivada para funções do tipo ƒ: ℝⁿ→
ℝᵐ, interpretando-a como uma transformação linear que fornece a
melhor aproximação local da função. Além disso, discute-se a
matriz jacobiana e demonstra-se a validade da regra da cadeia nesse
contexto mais geral. Conclui-se que a derivada em espaços
multidimensionais constitui uma extensão natural da derivada
clássica, preservando suas propriedades fundamentais.
This work presents a study on the generalization of the derivative concept for mappings of the type ƒ: ℝⁿ→ ℝᵐ. Initially, derivatives are discussed in the classical context of real-valued functions of one variable, highlighting their geometric and analytical interpretations, as well as fundamental properties, with emphasis on the chain rule. Then, the study is extended to vectorvalued and multivariable functions, introducing concepts such as partial derivatives, directional derivatives, and gradient. Subsequently, basic elements of the topology of ℝᵐ are presented, which are necessary for the formalization of continuity and differentiability concepts. From these definitions, the notion of derivative for functions of the type ƒ: ℝⁿ→ ℝᵐ is developed, interpreting it as a linear transformation that provides the best local approximation of the function. Furthermore, the Jacobian matrix is discussed and the validity of the chain rule in this more general context is demonstrated. It is concluded that the derivative in multidimensional spaces is a natural extension of the classical derivative, preserving its fundamental properties.
Dr. Oliveira, Iury Rafael Domingos de .
Regra da cadeia (Matemática).
Diferenciabilidade matemática.
Funções (Matemática).