Da aritmética modular à equação de Pell: um estudo sobre congruências e equações diofantinas
Da aritmética modular à equação de Pell: um estudo sobre congruências e equações diofantinas
<jose.walisson@arapiraca.ufal.br>
O presente trabalho tem como objetivo
apresentar os principais conceitos, propriedades e aplicações da aritmética
modular e das congruências na Teoria dos Números. Inicialmente, são abordados
os fundamentos da aritmética dos inteiros, incluindo divisibilidade, o
algoritmo da divisão e a identidade de Bézout. Em seguida, formaliza-se o
conceito de congruência modular, explorando suas propriedades operatórias,
potências de números congruentes e o sistema completo de resíduos. O estudo
avança para a resolução de congruências lineares e sua íntima relação com as
equações diofantinas lineares, estabelecendo as condições necessárias para a
existência de soluções. Além disso, o trabalho detalha teoremas clássicos da
Teoria dos Números, tais como o Pequeno Teorema de Fermat, o Teorema de Euler,
o Teorema de Wilson e o Teorema Chinês do Resto, demonstrando suas aplicações
na simplificação de problemas aritméticos. Por fim, investigam-se as equações
diofantinas com ênfase na Equação de Pell (x2 −Dy2 = 1),
discutindo métodos para a obtenção de soluções inteiras não triviais,
especialmente por meio da teoria das frações contínuas.
This work aims to present the main
concepts, properties, and applications of modular arithmetic and congruences in
Number Theory. Initially, the fundamentals of integer arithmetic are addressed,
including divisibility, the division algorithm, and Bézout’s identity. Next,
the concept of modular congruence is formalized, exploring its operational
properties, powers of congruent numbers, and the complete residue system. The
study advances to solving linear congruences and their close relationship with
linear Diophantine equations, establishing the necessary conditions for the
existence of solutions. Furthermore, the work details classical theorems of
Number Theory, such as Fermat’s Little Theorem, Euler’s Theorem, Wilson’s
Theorem, and the Chinese Remainder Theorem, demonstrating their applications in
simplifying arithmetic problems. Finally, Diophantine equations are
investigated with an emphasis on Pell’s Equation (x2 – Dy2
= 1), discussing methods for obtaining non-trivial integer solutions,
especially through the theory of continued fractions.
Dr. Bonutti, Moreno Pereira.
Pell, Equações de.
Aritmética modular.
Congruência (Álgebra).